Родился в семье филолога. После окончания гимназии с золотой медалью (1903) поступил в Военно-медицинскую академию в Санкт-Петербурге (1903–1909). Это был блестящий период в жизни ВМА – лекции читали И.П. Павлов (физиолог), А.А. Максимов (гистолог), М.П. Федоров и В.А. Опель (хирурги), В.М. Бехтерев (невролог и психиатр).
На третьем курсе студент Аничков стал заниматься гистологией под руководством А.А. Максимова. Студенческое исследование «О гистогенезе папиллярных опухолей яичника» (1909) было удостоено премии ВМА. По окончании академии с отличием (1909) был оставлен на кафедре патологической анатомии для подготовки к профессорской деятельности. В 1912 г. защитил диссертацию на степень доктора медицины на тему: «О воспалительных изменениях миокарда (к учению об экспериментальном миокардите)» (Дисс. СПб., 1912. 193 с.).
С 1912 по 1914 гг. находился в заграничной командировке в Германии – занимался экспериментальной патологией.
С 1920 г. Аничков – заведующий кафедрой общей патологии и одновременно руководитель Отдела патологической анатомии ИЭМ (Института экспериментальной медицины). Основатель Ленинградской школы патологов.
Основными проблемами исследований Н.Н. Аничкова и его школы являются: изучение сердечнососудистой патологии, патогенеза атеросклероза, физиологии и патологии ретикулоэндотелиальной системы, патологии обмена веществ, закономерностей опухолевого роста, различных видов гипоксии, патоморфология нервной системы при инфекциях, вопросов военной и профессиональной патологии.
На международном конгрессе в Утрехте (1934) Аничков выступил с программным докладом «О природе атеросклероза».
В годы Великой Отечественной войны кафедра общей патологии ВМА под руководством Аничкова занималась изучением военного травматизма и заболеваниями, связанными с боевыми действиями. Он руководил патолого-анатомической службой армии, являясь членом Ученого совета при начальнике Главного военно-санитарного управления. Аничков был членом редакций журналов «Архив патологии», «Патологическая физиология и экспериментальная терапия», «Природа».
Перу Н.Н. Аничкова принадлежит более ста трудов, среди них первый в СССР «Учебник патологической физиологии» и монография «Учение о ретикуло-эндотелиальной системе».
Труды Н.Н. Аничкова:
Учебник патологической физиологии. М.; Л.: Гос. изд-во, 1928. 432 с. Переиздания: 4-е изд., 1938. 474 с.
Учение о ретикулоэндотелиальной системе. М.; Л.: Гос. изд-во, 1950. 336 с.
Атеросклероз. Вопросы патологии и патогенеза: Сборник, посвящ. 75-летию со дня рождения и 55-летию научной, педагогической и общественной деятельности академика Н.Н. Аничкова. Л.: Медгиз–ЛО, 1961. 300 с.